Il mio rapporto con la matematica

In questa presentazione PowerPoint ho descritto il mio rapporto con la matematica dalle origini ai giorni nostri, con eventuali attrazioni e repulsioni nei confronti di questa disciplina.

Ecco se volete scoprire qual è stato il mio rapporto, guardate la seguente presentazione:

Io e la matematica

Published in: on 12 dicembre 2009 at 10:23  Lascia un commento  

Come fanno a contare i marziani??

NUMERAZIONE IN BASE TRE

Il primo lavoro di gruppo che ci è stato proposto dal professore Giovanni Lariccia è stato molto simpatico e interessante: la rappresentazione pratica del modo di contare, non solo quella che usiamo noi quotidianamente (ovvero la numerazione posizionale in base dieci), ma anche quella in base tre. Vi chiederete il perchè.. Beh la risposta è molto semplice: per insegnare ai bambini un nuovo e divertente modo per imparare a fare di conto usando il metodo dei marziani che, come sapete, sono provvisti di tre dita invece che di dieci come noi essere umani!
Il nostro scopo è quello di avvicinarci al mondo dei bambini perchè durante questo corso dobbiamo assumere due punti di vista: quello dell’insegnante e quello del bambino.
Mi ha molto appassionato questa attività di gruppo e penso che la utilizzerò con i “miei” futuri allievi!
Questo è il nostro link per poter vedere il nostro lavoro:

http://www.mediafire.com/?sharekey=6e14d6bf70c9fecaab1eab3e9fa335ca0a8af1eeee941cc7

Published in: on 12 dicembre 2009 at 10:11  Lascia un commento  

Din don dan

La matematica si apprende molto più facilmente se si impara giocando, se è connessa ad un’esperienza concreta, vissuta direttamente dagli allievi. Per questo motivo, durante la lezione, abbiamo ideato il gioco Din Don Dan: per questo gioco servono 12 bambini, ma una volta capite le regole si possono aggiungere altri partecipanti. Ogni bambino personifica un numero, e si dispone in fila per tre. Così divisi i bambini giocano ad individuare nell’insieme creato tutte le possibili connessioni numeriche, col vantaggio di poterle visualizzare su se stessi. Una volta che ciascun bambino ha capito quanti e quali possibili relazioni lo coinvolgono e lo legano agli altri numeri, si può scomporre l’ordine delle file, per aprirsi in cerchio: si possono così inventare nuovi giochi con i quali i bambini potranno scoprire altre nuove relazioni numeriche, espresse come regole del gioco. Qui di seguito ho creato uno schema realizzato con C-Map Tools con alcune delle possibili relazioni fra i numeri che ciascun bambino ha rappresentato.

 

Published in: on 7 dicembre 2009 at 14:14  Lascia un commento  

Albero genealogico con C-Map Tools

Grazie al programma C-Map Tools ho potuto realizzare, in forma ridotta rispetto a quello realizzato grazie a MyHeritage, un secondo albero genealogico. Le mappe concettuali sono uno strumento grafico per rappresentare informazione e conoscenza, teorizzato da Joseph Novak, negli anni ‘70[1]. Servono per rappresentare in un grafico le proprie conoscenze intorno ad un argomento secondo un principio cognitivo di tipo costruttivista, per cui ciascuno è autore del proprio percorso conoscitivo all’interno di un contesto, e mirano a contribuire alla realizzazione di apprendimento significativo, in grado cioè di modificare davvero le strutture cognitive del soggetto e contrapposto all’apprendimento meccanico, che si fonda sull’acquisizione mnemonica. Le teorie del prof. J. D. Novak sono infatti fortemente collegate a quelle di David Ausubel. Le caratteristiche essenziali di una mappa concettuale sono le seguenti: – È costituita da nodi concettuali, ciascuno dei quali rappresenta un concetto elementare e viene descritto con un’etichetta apposta ad una sagoma geometrica. – I nodi concettuali sono collegati mediante delle relazioni associative: in genere vengono rappresentate come frecce orientate e dotate di un’etichetta descrittiva (in genere un predicato). – La struttura complessiva è di tipo reticolare (che quindi potrebbe non presentare un “preciso punto di partenza”). Questo semplice insieme di requisiti e la forte connotazione cognitiva ha permesso l’applicazione delle mappe concettuali nelle situazioni più disparate. In tal senso sono indicative le molteplici derivazioni di questo modello, come i flow chart, gli schemi a blocchi, i diagrammi ERD e, appunto, gli alberi genealogici: sono tutte tipologie riconducibili alla proposta originale di Novak, benché ciascuna sia caratterizzata da peculiarità semantico/rappresentative e da un utilizzo in specifici ambiti.

Published in: on 7 dicembre 2009 at 14:07  Lascia un commento  

Albero Genealogico Myheritage

 

Ho realizzato tramite MyHeritage l’albero genealogico della mia famiglia. MyHeritage è un social network dedicato alle famiglie ed un servizio di genealogia. Permette ai membri di creare il proprio sito di famiglia, condividere foto e video, organizzare eventi di famiglia, creare alberi genealogici, e cercare i propri antenati.Con 30 milioni di uteti, MyHeritage è uno dei più popolari social network di genealogia. Ci sono 6 milioni di alberi genealogici nel sito, che è disponibile in 34 lingue. La ricerca genealogica di MyHeritage consente all’utente di cercare i propri antenati online. La società utilizza un motore metasearch, che cerca ed acquisisce il suo database ed interoga altri 1.526 database.

 

http://www.myheritage.it/

 

E-MAIL: piccolaelly89@hotmail.it

 

PASSWORD: 20031989

 

Published in: on 6 dicembre 2009 at 11:48  Lascia un commento  

Come sono rappresentati i numeri nel cervello

Secondo Stanislas Dehaene la nostra mente rappresenta i numeri in 3 diversi codici: il codice visuo-arabo, che rappresenta i numeri come stringhe di cifre, il codice uditivo-verbale che rappresenta i numeri come sequenze sintatticamente organizzate di parole e un codice analogico di grandezza, in cui i numeri sono rappresentati come porzioni di attivazione lungo un’ipotetica linea numerica mentale. Il codice visuo-arabo sarebbe reclutato nella soluzione di calcoli complessi o per recuperare informazioni relative alla parità di un numero, il codice uditivo-verbale sarebbe impiegato nel conteggio, ma anche nel recupero dei “fatti aritmetici”, e in ultimo il codice analogico di grandezza sarebbe impiegato in tutti i compiti che richiedono la comprensione delle quantità associate ai numeri. Solo quest’ultimo codice contiene informazioni sulla quantità rappresentata da un simbolo numerico ma, per sua stessa natura, tali informazioni sono approssimative. Questa rappresentazione sarebbe la base di quella sensibilità innata alla numerosità che ereditiamo dal mondo animale e che guida l’apprendimento della matematica formale. L’emisfero sinistro, e in particolare le aree connesse al linguaggio, sarebbero deputate all’elaborazione del codice numerico uditivo-verbale, mentre gli altri due codici recluterebbero circuiti rappresentati in entrambi gli emisferi. Il codice visuo-arabo sarebbe elaborato a livello delle aree occipito-temporali, il codice analogico di quantità invece troverebbe il suo correlato neurale nella parte inferiore del lobo parietale di entrambi gli emisferi. Una specifica porzione della corteccia parietale inferiore, chiamata intraparietale, è sede della nostra capacità, biologicamente determinata, di rappresentarci e discriminare le quantità numeriche. Lesioni cerebrali che coinvolgono quest’area determinano frequentemente difficoltà in ambito numerico.

Published in: on 5 dicembre 2009 at 13:28  Lascia un commento  

Imparare a usare la matematica

Leggendo il libro “Noi e i numeri”, alcuni argomenti mi hanno veramente interessato; ho quindi deciso di condividere insieme a voi quelli che più mi hanno colpito. Uno è proprio questo…

L’aritmetica si basa sulla conoscenza e sulla manipolazione di numeri cardinali, cioè entità che sono strettamente e rigidamente collegate tra loro e le cui possibili combinazioni danno sempre e comunque risultati esatti e calcolabili. Ad esempio un bambino che ha imparato che 6+7 è uguale a 13, potrebbe risolvere il problema 6+8 semplicemente aggiungendo 1 al risultato dato, arrivando in modo esatto al numero 14. Questo perché, scomponendo gli addendi, potrebbe trasformare il secondo problema in 6+(7+1) o meglio 6+7(+1). Per far ciò ovviamente non dovrà aver solo memorizzato il problema 6+7 ma soprattutto dovrà aver compreso le relazioni tra i numeri. La comprensione delle proprietà additiva e commutativa implica la profonda comprensione del significato dell’addizione: fare la somma di due numeri significa cercare di identificare la numerosità dell’insieme derivato dall’unione di due altri insiemi, a loro volta scomponibili in più sottoinsiemi. Anche se verso i 5 anni i bambini giungono ad apprezzare queste proprietà, bisogna attendere più a lungo perché essi possano applicarle in modo sistematico. Risulta efficace e conveniente l’apprendimento dell’aritmetica semplice guidato dalla comprensione delle relazioni numeriche che intercorrono tra le diverse operazioni. Imparare a far di conto è quindi molto più che memorizzare semplici addizioni e recitare la tavola pitagorica, perché solo quando un problema risulta significativo è possibile fare uso di questi dati in modo flessibile e finalizzato. Il fine ultimo dell’imparare a far di conto è quello di apprendere dati, procedure e principi che possano permetterci di svolgere calcoli nelle innumerevoli situazioni in cui è richiesto; in altre parole questo significa imparare a risolvere un problema. La risoluzione di un problema richiede molto più dello svolgimento di un calcolo, in quanto spesso l’operazione richiesta non è mai esplicitata, ma deve essere dedotta dalle informazioni che sono disponibili. La difficoltà di un problema dipende da diversi fattori quali il numero delle variabili coinvolte, la familiarità del problema e il numero di operazioni richieste. Inoltre lo sviluppo delle capacità di soluzione dei problemi implica abilità linguistiche, mnestiche, di pianificazione oltre che abilità di calcolo. È quindi obbiettivo del percorso di apprendimento di un bambino, acquisire dati aritmetici e algoritmi di calcolo, ma soprattutto imparare come e quando utilizzare tali conoscenze negli innumerevoli contesti. Questo processo inizia ancor prima che il bambino si trovi tra i banchi di scuola.  

Published in: on 5 dicembre 2009 at 10:01  Lascia un commento  

Il potere dello zero

La cosa che rende particolarmente efficiente il sistema dei numeri arabi è, oltre alla natura posizionale, il fatto di poter rappresentare l’assenza di unità, cioè l’insieme vuoto.

Il numero zero ha la doppia funzione di rappresentare l’insieme con numerosità nulla oltre a svolgere il ruolo di indicare l’assenza di unità associate ad un determinato valore.

Facciamo un esempio: nel numero 2010 lo zero indica l’assenza di centinaia e di unità. Inoltre la presenza di questi zeri ci permette di capire anche la posizione degli altri numeri, precisamente che il numero 2 indica le migliaia essendo in quarta posizione e il numero 1 le decine occupando la seconda posizione, sempre partendo da sinistra. Inoltre è solo lo zero che permette alla singola cifra 1 di assumere valore dieci (10), cento (100), mille (1000), …

L’introduzione dello zero è stata la più tardiva conquista nella storia della matematica: infatti inventare e concepire un simbolo che distinto per indicare l’assenza di quantità è stata una scoperta molto laboriosa che neanche grandi popoli antichi vi giunsero mai. Per molto tempo l’assenza di quantità si rappresentava lasciando uno spazio vuoto. Servì parecchio tempo prima che un simbolo distintivo per lo zero fosse usato non solo come indicatore di posizione, ma come vero e proprio numero rappresentante l’insieme vuoto.

I primi a farlo sembrano essere stati i Maya che utilizzarono il disegno di una conchiglia per indicare lo zero nel loro semplice ma efficiente sistema posizionale. Gli europei invece dovettero attendere fino al XII secolo, quando entrarono a contatto con i mercanti arabi, per acquisire il sistema numerico posizionale dotato di zero.

Published in: on 3 dicembre 2009 at 17:22  Lascia un commento  

Il triangolo di Sierpinski

Elena Gardenal Sierpinski

Durante una lezione in aula ci è stato proposto dal professore di costruire il famoso triangolo di Sierpinski; così ho deciso di effettuare una breve ricerca per sapere qualcosa di più su questo famoso triangolo e sulle sue caratteristiche.

Fra i primi frattali studiati, un posto d’onore occupa il cosiddetto triangolo di Sierpinski così chiamato dal nome di Wacław Sierpiński che lo descrisse nel 1915; si tratta di un frattale molto semplice da ottenere anche per via geometrica elementare. È un esempio base di insieme auto-similare, cioè matematicamente generato da un pattern che si ripete allo stesso modo su scale diverse. Un frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua struttura allo stesso modo su scale diverse, ovvero che non cambia aspetto anche se visto con una lente d’ingrandimento. Questa caratteristica è spesso chiamata auto-similarità. Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Benoît Mandelbrot, e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria. La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in un albero (soprattutto nell’abete) ogni ramo è approssimativamente simile all’intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo, e così via; è anche possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra molte componenti che, se non identiche all’originale, gli assomigliano comunque molto.

Esistono diverse famiglie di frattali, suddivise in base al grado dei termini dell’equazione generatrice contenuti nell’algoritmo:

–  Frattali lineari

–  Frattali non lineari

–  Frattali aleatori

Le caratteristiche principali del triangolo di Sierpinski possono essere così riassunte:

  • autosimilitudine:

il triangolo ha la caratteristica peculiare che, se ne ingrandiamo anche una piccola parte, riproduciamo in scala la stessa figura di partenza.

  • Perimetro infinito:

il perimetro del triangolo diventa ogni volta i 3/2 del precedente, infatti i triangoli si triplicano restando simili a se stessi mentre il loro lato si dimezza. Possiamo dunque affermare che, al crescere del numero dei passi, anche il perimetro crescerà indefinitamente: esso tende ad infinito quando anche il numero di passi tende ad infinito.

  • Area nulla:

l’area del triangolo diventa ogni volta i 3/4 della precedente, infatti ad ogni passo viene eliminato da ogni triangolo il triangolo formato dalle parallele ai tre lati che uniscono i punti medi dei lati stessi. Possiamo dunque affermare che, al crescere del numero dei passi, l’area decrescerà indefinitamente: essa tende a zero quando il numero di passi tende ad infinito.

 Il triangolo di Sierpinski è generato da una successione infinita di rimozioni, iterando il procedimento:

“Dato un triangolo equilatero pieno, lo si divida in 4 triangoli equilateri e si rimuova il triangolo centrale rivolto verso il basso. Rimangono 3 triangoli: ad ognuno di essi si applichi lo stesso procedimento all’infinito”.

Si può notare come l’oggetto costruito sia autosimilare, cioè ogni parte contiene il tutto; infatti, se consideriamo uno dei tre triangoli ottenuti dopo la prima iterazione e lo ingrandiamo di un fattore 2, otteniamo nuovamente la figura di partenza. Potremmo anche andare oltre e ingrandire di un fattore 4 uno dei triangoli rimasti dopo il secondo passaggio di rimozioni e troveremmo ancora l’intero triangolo originale. Tutto ciò accade indipendentemente dalla “profondità” alla quale si guarda il triangolo: il più piccolo triangolo ottenuto dopo n iterazioni darà, se ingrandito di un fattore 2n, una copia esatta dell’intero triangolo.

Published in: on 3 dicembre 2009 at 16:34  Lascia un commento  

Il sudoku

Ho deciso di fare una piccola ricerca sul sudoku in quanto è un gioco “matematico” che affronto molto spesso e credo sia molto utile, divertente e allo stesso tempo istruttivo. Infatti a mio parere questo gioco stimola il ragionamento e la logica e tiene la mente allenata. È quindi un passatempo molto interessante. In questo intervento ho voluto un approfondire la storia del sudoku e come si risolve a livello matematico.

Il sudoku (che in italiano vuol dire “sono consentiti solo numeri solitari”) è un gioco di logica nel quale al giocatore viene proposta una griglia di 9×9 celle, ciascuna delle quali può contenere un numero da 1 a 9, oppure essere vuota; la griglia è suddivisa in 9 righe orizzontali, 9 colonne verticali e, da bordi in neretto, in 9 “sottogriglie”, chiamate regioni, di 3×3 celle contigue. Le griglie proposte al giocatore hanno da 20 a 35 celle contenenti un numero. Scopo del gioco è quello di riempire le caselle bianche con numeri da 1 a 9, in modo tale che in ogni riga, colonna e regione siano presenti tutte le cifre da 1 a 9 e, pertanto, senza ripetizioni. In tal senso lo schema, una volta riempito correttamente, appare come un quadrato latino. La versione moderna del gioco fu ideata dall’architetto statunitense Howard Garns e pubblicata da Dell Magazines nel 1979 con il titolo “Numbers in Place”. In seguito fu diffuso in Giappone dalla casa editrice Nikoli nel 1984, per poi diventare noto a livello internazionale soltanto a partire dal 2005.

                                                                        esempio di sudoku

I primi giochi di logica basati sui numeri apparvero sui giornali verso la fine del XIX secolo, quando alcuni enigmisti francesi iniziarono a sperimentarli rimuovendo opportunamente dei numeri dai quadrati magici. Le Siècle, un quotidiano parigino, pubblicò nel 1982 un quadrato magico di dimensioni 9×9 parzialmente completo con sottoquadrati di dimensioni 3×3. Non si trattava di un sudoku così come lo conosciamo oggi, poiché conteneva numeri a doppia cifra e, per essere risolto, richiedeva l’aritmetica piuttosto che la logica, ma ammetteva comunque la regola per cui ogni riga, colonna e sottoquadrato dovesse contenere gli stessi numeri senza ripeterli. Successivamente un giornale rivale de Le Siècle, La France, ridefinì le regole di questo gioco, avvicinandosi di molto al sudoku moderno: ogni riga, colonna e sottoquadrato del quadrato magico doveva essere riempita soltanto con i numeri da 1 a 9, sebbene i sottoquadrati non fossero marcati all’interno dello schema. Questi giochi settimanali furono pubblicati anche da altri quotidiani francesi come L’Echo de Paris per circa un decennio, ma poi scomparvero all’epoca della Prima Guerra Mondiale.

Secondo l’enigmista statunitense Will Shortz, il sudoku moderno fu realizzato da Howard Garns, un ex architetto in pensione dell’Indiana (morto nel 1989), e pubblicato per la prima volta nel 1979 da Dell Magazines all’interno della rivista Dell Pencil Puzzles and Word Games con il titolo Numbers in Place. Il gioco venne introdotto in Giappone dalla casa editrice Nikoli nella rivista Monthly Nikolist nell’aprile del 1984 , Suuji wa dokushin ni kagiru. Nel 1986 Nikoli introdusse due novità: il numero massimo di celle già riempite fu ristretto a 32 e le griglie diventarono “simmetriche”, nel senso che i numeri già stampati venivano distribuiti su celle simmetriche. Nell’ottobre del 2004 il sudoku venne importato in Gran Bretagna da un ex giudice neozelandese, Wayne Gould, per poi diffondersi in Europa e nel resto del mondo nel 2005.

Published in: on 2 dicembre 2009 at 22:11  Lascia un commento